如何理解拓扑不变量？
简单来说，拓扑不变量就是拓扑空间在同胚映射下保持不变的性质。而同胚映射指的是两个拓扑空间之间的满足双射、连续且逆映射连续的映射。应该说拓扑不变量是拓扑学的核心，因为拓扑学就是研究拓扑不变量的数学学科。比较简单的拓扑不变性质，例如(曲线)连通性，简单一点来说就是拓扑空间中任意两点之间可以用曲线连接。比如一个皮球表面的两点之间可以找到一条线去连接，那么对皮球随便怎么捏，只要不破坏它，那么仍然可以找到一条线去连接这两个点。
直观一点来看，拓扑不变量与形状位置大小等因素都没有关系。显然，这种情况下，长度面积体积等几何性质都可能会改变。拓扑不变量很大程度上“决定”了一个拓扑空间的性态，所以将拓扑空间进行同胚分类就成为了拓扑学中的一个核心问题。但对于两个拓扑空间而言，多数情况下很难直接判断出它们是否同胚，所以数学家们发展出了一套利用拓扑不变量去判断是否同胚的方法。
可以看到，拓扑不变量与同胚之间应该是相互联系与制约的。因此除了传统的连通性，紧致性，分离性等传统的拓扑不变量外，还发展了诸如基本群，同伦群，单纯同调群，亏格等更深刻的拓扑不变量，这些直接影响了代数拓扑学的发展。拓扑不变量不仅对数学本身来说很重要，在物理学领域中也发挥着深刻的作用， 最先在物理中出现的拓扑不变量来自于Berry相位。
伽莫夫在 1961 年曾经评论说：“只有数论及拓扑学没有物理应用。”然而很快这句话就失效了，1970 至 80 年代之间，量子场论的瞬子论、非交换规范理论与广义相对论里的正质量定理都是由许多数学家和物理学家合作，运用了拓扑与几何理论才建立证明的。运用拓扑性质对量子霍尔效应的全新研究更是获得了2016年诺贝尔物理学奖。
