如何轻松理解狄拉克方程？
1928年英国物理学家狄拉克即狄拉克方程。利用这个方程研究氢原子能级分布时，考虑有自旋角动量的电子作高速运动时的相对论性效应，给出了氢原子能级的精细结构，与实验符合得很好。从这个方程还可自动导出电子的自旋量子数应为1/2，以及电子自旋磁矩与自旋角动量之比的朗德g因子为轨道角动量情形时朗德g因子的2倍。
电子的这些性质都是过去从分析实验结果中总结出来的，并没有理论的来源和解释。狄拉克方程却自动地导出这些重要基本性质，是理论上的重大进展。狄拉克方程的形式如图示一。理论物理中，相对于薛定谔方程之于非相对论量子力学，狄拉克方程是相对论量子力学的一项描述自旋-½粒子的波函数方程，由英国物理学家保罗·狄拉克于1928年建立，不带矛盾地同时遵守了狭义相对论与量子力学两者的原理，实则为薛定谔方程的洛伦兹协变式。
求介绍狄拉克方程及其应用？
本文较为硬核，请酌情跳过部分内容。不过，若是你真想了解狄拉克方程，我建议你全看完。（可以忽略公式，只看文字内容。）狄拉克方程，我想称其为“神来之笔”！为了烘托这神来之笔，我需要在前期做足铺垫。笔者曾写过一篇问答文章：《如何理解薛定谔方程？》本文可以算是是那篇文章的后续内容，请读者确保自己已经读过了那篇文章，不然你完全看不懂下面的内容。
附上那篇文章的链接：链接再次提醒，请确保自己已经读过上面的文章，不然你完全看不懂下面的内容。本文的基本内容有：从薛定谔方程的缺陷谈起事情并不简单“错误”的方程绝境？狄拉克的妙计神来之笔！写出狄拉克方程！浑然天成的自旋狄拉克之海与反物质狄拉克方程的意义从薛定谔方程的缺陷谈起它有两个缺陷：1.只能描述低速运动的电子，当电子接近光速运动时，薛定谔方程就失效了。
2.无法描述电子的自旋。多说几句：虽说薛定谔方程描述的是“微观粒子”这个大的概念，不过在它创立之初，基本上就是在描述电子。狄拉克方程也是如此，通常就是在描述电子。甚至可以说量子力学就是描述光子和电子的学问，光子已经由麦克斯韦方程组描述了，其它的方程自然是在描述电子。先看一看薛定谔方程的第一个缺陷，当电子接近光速运动时，薛定谔方程就失效了，此话从何说起？咱们先捋一捋上篇文章是如何推导薛定谔方程的。
从某种角度看，薛定谔方程就是经典的能量动量关系：m是质量，v是速度。（为了简化问题，本文不考虑电子的势能。）再乘一个波函数Ψ：结合一下对波函数求偏导数以后得到的性质：（凭借高中的物理和数学知识，完全可以推导出这些性质，可惜没人引导我们的少年。）整理这些性质：i是虚数单位，h加一横是约化普朗克常数。这样就可以直接得到薛定谔方程：（当然，这是一维的薛定谔方程。
）薛定谔方程的动能公式和动量公式都是从经典力学得来的，这就导致薛定谔方程只能描述低速运动的电子。不过，有件事值得我们注意：1905年，狭义相对论就被创立了。1926年，薛定谔方程才出现。薛定谔为什么还要使用经典力学的能量和动量，而不是直接创立一个满足狭义相对论的方程？事情并不简单这么明显的想法，薛定谔会想不出来？人家当然能想出来啊！那薛定谔为什么不改进一下自己的方程？问题在于事情并不简单。
事实很尴尬，薛定谔最初构建物质波的波动方程时，用的就是狭义相对论的能量-动量关系！但是，他写出的方程求不出氢原子能级公式，这说明那个方程是错的。被打击以后，薛定谔又按经典的能量-动量关系构建了一个方程。结果竟然算出了氢原子能级公式！于是，薛定谔把这个歪打正着的方程发表了。薛定谔方程是这么“上位”的，这导致它在电子接近光速运动时就失效了。
“错误”的方程薛定谔最初写下的方程其实是：克莱因-戈登方程（现在看来，随便一个学过物理的人都能推导出这个方程。）这个方程是通往狄拉克方程的一个小插曲，笔者有必要介绍一下它。上面已经回顾了薛定谔方程的推导过程，依葫芦画瓢，如果想描述高速运动的电子，只需要借鉴一下狭义相对论的能量-动量关系：c是光速。再乘一个波函数Ψ：然后再看一看波函数的性质，找出需要用的公式：这样就可以得到克莱因-戈登方程：当然，这是一维的克莱因-戈登方程。
依葫芦画瓢，还可以写出三维的克莱因-戈登方程：这个方程被很多人用很多方法得到过，听起来很高大上，看起来也很高大上，实际上却是个“绣花枕头”。求解这个方程，算不出氢原子能级公式也就算了，竟然还会出现负的概率和负的能量，一看就知道没戏。多说几句，克莱因-戈登方程也不是一无是处。虽然它不能描述自旋为半整数的费米子（比如电子），但可以描述自旋为零的粒子，比如希格斯玻色子、介子。
绝境？薛定谔方程缺陷严重、克莱因-戈登方程是“绣花枕头”，最终的方程究竟该怎么写？还是要从狭义相对论的能量-动量关系入手。不过要注意，不能像克莱因-戈登方程那样“玩过了”。克莱因-戈登方程之所以“玩过了”（出现负的概率和负的能量），是因为：（至于问题为什么出在这里，恐怕只有当年的那一批物理学家知道。）所以应该使用的能量-动量关系是：乘以波函数Ψ，可以得到：但是，根号的出现，让整个方程变得混乱不堪，还不如原本的克莱因-戈登方程。
所以对于相对论的能量-动量关系：需要消除根号，而且还不能用等号两边平方的方法去消除根号，不然就又回到了克莱因-戈登方程。此时的物理学家：走到这一步，真的可以算是“前不着村，后不着店”，物理学家似乎陷入了“死循环”，难道狭义相对论和量子力学不兼容吗？狄拉克的妙计狄拉克的思路是：既消除了根号，又没有平方，堪称完美！是不是有一种“从地狱到天堂”的感觉？但是，别高兴得太早，α和β真的存在吗？什么意思？狄拉克的想法相当于：大家可以自己思考一阵子，看看能不能得到满足条件的A和B。
我可以告诉大家，A和B在实数域内找不到解，在复数域内也找不到解。更让人绝望的是，如果你的思路是：那么A和B根本就没有解！是不是有一种“从天堂到地狱”的感觉？狄拉克的妙计似乎并不妙，也只是个“绣花枕头”。这件事放在别人身上或许就不了了之了，不过很可惜，狄拉克终究是狄拉克。神来之笔！矩阵！A和B可以是矩阵，说得准确一点，是2x2矩阵！矩阵并不神秘，就是把一堆数排列在一起，矩阵的乘法通常不满足乘法交换律。
（限于篇幅，正文里就不介绍矩阵的计算方法了，评论区里会附上矩阵的计算方法。）知道了矩阵的妙用，回到当初的问题：所以真正的问题是：它们都是4x4矩阵，被称为狄拉克矩阵：想知道怎么推导狄拉克矩阵？这不是强人所难吗，连我这种人都能搞懂的话，还能叫神来之笔吗？顺便说一句，狄拉克矩阵不止这一组。费米找到了另一组狄拉克矩阵，被称为“标准组”，而狄拉克找到的这一组矩阵被称为“泡利组”。
写出狄拉克方程！现在可以写出新的满足狭义相对论的能量-动量关系：结合波函数的性质：可以得到：这就是狄拉克方程！（1928年，26岁的狄拉克得到了这个方程。）不过这种形式的方程和网上常见的狄拉克方程相差甚远，所以我有必要说明一下各种形式的狄拉克方程是怎么来的。首先，把等号右边的一些项移到等号左边：然后，在等号两边都乘以一个β矩阵，这个β矩阵就是上面的四个狄拉克矩阵中的其中一个矩阵。
（β矩阵乘β矩阵是单位矩阵，在这个方程里可以认为单位矩阵就是1）：上面的方程还可以写成：把等号右边的项移到等号左边就可以得到：如果采用自然单位制，就可以得到：再定义一个算符：就可以得到：浑然天成的自旋之前提到过薛定谔方程的两个缺陷：1.不能描述高速运动的电子。2.不能描述粒子的电子。第一个缺陷已经被狄拉克方程解决了，那第二个缺陷呢？也被狄拉克方程解决了！是不是有疑问，刚刚推导狄拉克方程的时候只是使用了狭义相对论的能量-动量关系啊，没有考虑自旋啊，怎么就描述了电子的自旋？上篇文章说过，想要描述电子的自旋，就需要引入泡利矩阵：（至于泡利矩阵怎么就能描述电子的自旋，这涉及到旋量理论和洛伦兹群，笔者就不介绍了。
）而狄拉克矩阵包含了泡利矩阵：狄拉克矩阵是从哪里来的？狭义相对论啊！这说明什么？说明电子的自旋是狭义相对论的必然要求，电子必然有自旋！顺便说一句，电子的自旋并不是说电子在绕着一个轴转动（如果真是电子在转动，就违背了狭义相对论），“自旋”仅仅只是为了描述斯特恩-盖拉赫实验中的反常现象：电子具有额外的磁矩。
狄拉克之海与反物质前面说过，求解克莱因-戈登方程会得到负的概率和负的能量，这让克莱因-戈登方程被人诟病。正因如此，才需要一个新的方程：狄拉克方程。那求解狄拉克方程的结果如何？确实不会出现负的概率，但是仍然会出现负的能量。这似乎表明狄拉克方程和克莱因-戈登方程一样，都是“绣花枕头”。不过，这里的“剧情”有些不一样，狄拉克给负的能量找到了一个“合理”的解释：负能量对应着“负能级”，真空中到处都是“负能级”，那里早已被电子填满了。
所以真空是一片电子组成的海洋（狄拉克之海），只不过我们无法观测到那些待在“负能级”的电子。听起来是不是有些玄幻？下面还有更玄幻的：如果“负能级”中的电子吸收能量，就会跃迁到“正能级”，成为我们可以观察的电子。与此同时，会在“负能级”中形成一个“空穴”，也就是说真空中出现了一个电子，同时也出现了一个“空穴”。
真空的总电荷是零，总能量也是零。真空中少了一份的负电荷（占据“负能级”的电子），就会表现出一份的正电荷，所以这个“空穴”是带正电的。真空中少了一份的负能量（占据“负能级”的电子），就会表现出一份的正能量，所以这个“空穴”具有正的能量（也就是正的质量，切记）。把这个过程反过来，电子与“空穴”结合，会释放能量。
与此同时，它们回归真空。这种“空穴”就像一种粒子一样，当时人们知道的带正电的粒子只有质子，狄拉克原本也觉得这种“空穴”就是质子，不过这种想法被批判：按照能量守恒，“空穴”的质量应该与电子的质量相同，而质子的质量大约是电子的1836倍！于是狄拉克脑洞大开，认为这是一种新的粒子，它与电子的质量相同、自旋相同，只是带的电荷与电子相反，可以称之为正电子！1932年，安德森继任赵忠尧先生的工作，在宇宙射线中发现了正电子。
也可以说正电子是电子的反粒子，随后的几十年里，物理学家陆续发现了其它粒子的反粒子，这让人畅想：反物质！狄拉克方程的意义这是狭义相对论与量子力学的统一！（所谓的相对论和量子力学不相容，说的是广义相对论，而非狭义相对论。）也是量子场论的开端，导致了二次量子化，促成了量子电动力学的创立。而且，狄拉克方程不只描述电子，目前看来，一切费米子都可以由狄拉克方程描述。
狄拉克这个人到底有多厉害？
英国一直不缺乏最优秀的物理学家，从牛顿开始，到麦克斯韦，再到狄拉克（1902-1984），都是第一流的物理学家。牛顿是经典力学的缔造者，麦克斯韦是电磁理论的创建者，而狄拉克是量子力学理论体系的最终完成者。1925年，当狄拉克还是一个研究生的时候，他读到了海森堡关于量子力学的一篇论文，狄拉克发现海森堡论文中的矩阵对易关系和经典力学中的泊松括号在结构上很像，受此启发狄拉克很快就发展出了一套基于非对易力学量的量子理论。
狄拉克对量子力学的重新陈述，扫清了笼罩在这一理论之上的朦胧的面纱，量子力学变得和经典力学一样清晰优美，我们今天学习的量子力学就是基于狄拉克发展起来的形式，狄拉克发明出来的一些工具，如：狄拉克记号，狄拉克函数等都使得量子力学的计算变得简洁清晰。针对电子（或更一般地，自旋半奇数的粒子），狄拉克发展了费米-狄拉克统计，这属于量子统计的基础工作，是以后研究金属，半导体等的基础。
狄拉克最重要的工作是发展了相对论性量子力学（1928）。此前的量子力学只适用于非相对论性粒子，狄拉克通过引入一系列4x4的矩阵，得到了描述电子运动的“相对论性”方程－狄拉克方程：这个方程很厉害。它解释了电子为什么具有自旋1/2；能够描述电子的产生和湮灭过程；预言了反粒子（对于电子来说就是正电子）。当时的科学家只知道有电子、质子和中子。
狄拉克预言的与电子质量相等，但电荷相反的粒子谁也没见过，这难免让狄拉克心里有点不安，但狄拉克觉得他的方程很优美，这么优美的方程一定反映了物理现实。狄拉克非常幸运，很快安德森就在宇宙射线中找到了正电子（1932），证实了狄拉克的预言。这使狄拉克获得了1933年的诺贝尔物理学奖。PS：狄拉克有多厉害呢，这里还有一个小故事。
薛定谔方程与狄拉克方程的区别是什么？
薛定谔方程和狄拉克方程都是量子力学框架下描述微观粒子运动规律的基本方程。两者的区别在于，薛定谔方程本质上源自于光谱学和分析力学的结合，是描述微观粒子的量子力学基本方程。薛定谔方程仅适用于速度不太大的非相对论粒子，其中也没有包含关于粒子自旋的描述。当涉及相对论效应时，薛定谔方程由相对论量子力学方程所取代，其中自然包含了粒子的自旋。
薛定谔方程和狄拉克方程之间是什么关系？
在量子力学的发展史上，当人们试图写出电子运动所需满足的波动方程的时候，狭义相对论已经提出来了，因此符合相对论协变性，或与狭义相对论不冲突，是写出正确的电子方程的必要条件。但这些努力都不成功。比较典型的是“克莱因-戈登方程”：这个方程其实就是把相对论的“能量-动量公式”里的E和p分别用能量算符和动量算符替代得到的。
但如果把这个方程看做是电子运动需满足的波动方程，则会碰到如下两个困难：（1）负几率问题；（2）负能量问题。不过后来这个方程在量子场论兴起后，获得了新的意义，被认为是描述标量场（一个分量）的方程。在量子力学中取得成功的第一个波动方程反而是一个完全不考虑相对论效应的方程——（单分量）薛定谔方程，它算出了氢原子的玻尔能级。
但用薛定谔方程来研究原子物理的问题的时候，还是会觉得不完美，比如相对论效应如何考虑，比如自旋如何理解等。原子物理的问题显然与电磁学相关，其核心问题是电子在原子核产生的电磁场中运动，而狭义相对论也是电磁理论发展的自然结果（电磁学是否满足伽利略协变性），这提示我们原子物理，与电磁学，及狭义相对论有很紧密的联系。
根据电磁学，我们除了可以用电场（E），磁场（B）来描述物理问题外，我们还可以引入A（磁矢势），φ（电标势）来描述，为了符合相对论协变性，我们把它们统一写为Aμ=(A0, A1, A2, A3)。在这种记号下电子在原子核中的势能V就是eA0，并且我们需要在做正则量子化的时候，把电磁场的动量也考虑进去。这样电子在原子中的哈密顿量就可以写为：对应波动方程是：这个波动方程是考虑了电磁场之后电子满足的薛定谔方程。
假设Aμ=0，就是非相对论的自由电子满足的波动方程。在非相对论量子力学中，我们是通过实验直接引入自旋概念的，并认为自旋角动量与磁矩之间的关系是：这里gs是自旋的朗德因子，与电子作轨道运动导致的朗德因子gl=1不同，这里gs=2。自旋在磁场B中的能量是塞曼能，对应这里形式上e取正，并引入泡利矩阵σ来描述自旋S，考虑了自旋后，自由电子在非相对论情形下的哈密度算符是，考虑电磁场后，在这个计算中考虑到A与动量算符p不对易，化简可得：这里利用了电磁学里磁场与磁矢势A之间的关系：以上，我们由更基础的物理原理出发推出电子的朗德因子gs是2。
利用泡利矩阵，我们把相对论性能量-动量关系改写为能描述自旋1/2的矩阵形式：进一步改写成算符的形式：这里x0=ct，φ表示两分量的波函数。假设：这意味着：以上两式分别相加，相减：在此基础上定义一个新的四分量波函数ψ，满足，这就是自由电子的狄拉克方程，引入γ矩阵：改写成常见的形式：考虑不含时的量子力学问题，得到定态狄拉克方程：这里α和β是两个4乘4的矩阵，考虑电子在电磁场中运动，这里eA0相当于前式中的V（电子在电场中的静电势能），上式的特点是两分量波函数ψA和ψB是混合在一起的，单独某一个无法归一化。
我们可以在形式上把ψB消掉，我们现在的任务是在非相对论极限下，把狄拉克方程化简，比如在非相对论情形下，我们说的能量其实是相对论的能量减去电子的静能量，并且等于动能加势能。这意味着：忽略(v/c)平方项，得到：上式整理简化后是：这里就只剩下一个二分量的波函数ψA了，同时上式就是考虑电磁场后的定态薛定谔方程。
即使是在非相对论极限下（A=0，E=mc^2），仍然有一部分ψA变成了ψB，归一条件：引入新的两分量波函数Ψ，使得：考虑磁矢势A=0，但电标势A0不为0，ψA满足的方程是：在上式中我们考虑了相对论(v/c)^2项的修正，但ψA的问题是其有一部分会变为ψB，为了避免这个问题，我们考虑Ψ，这里面是包含了ψB的成分的，并且已经在形式上归一化，其满足的波动方程是：我们现在把上式展开，并忽略掉其中比(v/c)^2更高阶的贡献（这部分计算较繁琐，过程略去），得到：由于在开始的时候假设A=0，所以上式中没有出现塞曼项，但这里出现了自旋轨道耦合项（上式中的第四项），上式中的第三项可以从相对论能量动量公式的展开中直接看出来，最后一项是达尔文项，与原子中的电荷分布有关。
现在重点看一下自旋轨道耦合项，上式中的E表示电场强度，代回自旋轨道耦合项：就是常见的自旋轨道耦合项的表达形式。小结一下，狄拉克方程是一个四分量的波动方程，在非相对论极限下，狄拉克方程退化为一个二分量的波动方程，对应包含塞曼项的薛定谔方程，并且会自然地得到电子的自旋朗德因子是2，在保留相对论效应(v/c)平方项的近似下，我们得到了包含自旋轨道耦合项的薛定谔方程。
自旋为1/2的不同粒子，是否满足不同(伽嘛矩阵)的狄拉克方程？
我不太理解题主的意思。不同的后面加一个括号注明“伽马矩阵”，难道题主认为存在不同的伽马矩阵？如果是这种想法，那么我可以做两种理解：第一、题主意识到了狄拉克方程的分类问题；第二、题主认为不同s=1/2粒子就是对应不同的伽马矩阵。如果题主是第一种想法，我可这样告诉你，对于自旋为1/2的粒子来说，有三类狄拉克方程，它们分别对应三类伽马矩阵。
量子场论里也成为三种表象：狄拉克表象、外尔表象、马约拉纳表象。狄拉克表象是很一般的表象，满足该表象的费米子拥有互不相同的正反粒子，而且静止质量不为零，比如说顶夸克这类重质量费米子；外尔表象与狄拉克表象不同之处在于，它是静止质量为零的费米子所满足的表象，目前质量为零的费米子还没有找到，外尔表象也仅在高能态费米子上使用，比如说高能电子、高能夸克等；马约朗纳表象则是和前面有着截然不同的一类表象，只有正反粒子同体的费米子才满足该表象。
但是如果题主是第二种想法，那么对不起，你的理解不对。电子和夸克虽然不同，但是它们却对应同一类伽马矩阵！其实，狄拉克方程是描述s=1/2粒子的相对论性量子场论方程，只有在场论意义上（或者比场论更加高级的理论上）才能解释狄拉克方程。任何企图在力学层面就想解释狄拉克方程的做法全都存在各种困难。量子场论也就是因此而产生的。
