共振就是风毁桥梁的罪魁祸首！4、共振的能量知道了共振的原理，相信也就知道了共振的能量来自何处。）一般工程中所说的共振就是位移共振，位移共振又叫振幅共振。2、共振的原理上面这个小故事中，钹的响动是由于受到大钟的影响。历史上最著名的共振事件当属美国的塔科马桥共振坍塌事件了。
共振的原理是什么？
本文较为硬核，请酌情跳过部分内容。关于共振，大家应该都听过这样一句话：驱动力的频率与一个系统的固有频率相同时，系统的振幅最大，这就是共振。很可惜，这句话是错的。你没看错，这句话是错的！网上的科普作品很少会区分“位移共振”和“速度共振”，这导致有不少人误解了共振。我原本打算简单写几句话，提一下位移共振和速度共振的区别和产生条件就了事。
不过，只介绍共振其实是“买椟还珠”，把物理学的精髓都抛弃了，我终究还是决定长篇大论。在阅读过程中，你可能会不止一次感觉这篇文章答非所问。但是，相信我，坚持看到最后你就会发现：为什么只介绍共振是在“买椟还珠”。（用完整的物理思想，对共振进行“降维打击”）先了解一下牛顿第二定律涉及到运动与力的问题，必然要从牛顿第二定律入手。
F=ma？外行才用！本文重在以振动为主题，阐述一套完整的物理方法：微分方程。牛顿第二定律其实是个微分方程，微分方程贯穿整个物理学。甚至可以说，学物理却不学微分方程，还不如不学物理。为了把 F=ma 写成微分方程，我们先看一看速度的计算方法：这个公式计算的是一段时间间隔内的平均速度，物理学家不会就此满足，他们更想计算物体在某一瞬间的速度。
这个问题要用微积分解决，其实这个思想并不复杂，我们只需要把时间间隔选取得足够小（但不是零），小到比你能想到的任何时间间隔都要小。这个足够小的时间间隔就是时间的微分。可以用dt来表示时间的微分。同样的，我们还需要把位移选取得足够小（但不是零），小到比你能想到的任何位移都要小。这个足够小的位移就是位置的微分。
可以用dx来表示位置的微分。借助时间和位置的微分，我们可以表示出计算物体瞬时速度的公式：这其实就是数学上的导数，速度就是位置对时间求导数。然后我们可以把对速度做的操作再对加速度做一遍。回想一下加速度：这个公式计算的是一段时间间隔内的平均加速度，依葫芦画瓢，可以得到瞬时加速度：加速度就是速度对时间求导数。
进一步思考：速度表示的是物体的位置随时间变化的快慢。加速度表示的是物体的速度随时间变化的快慢。所以加速度表示的是：物体的位置随时间变化的快慢随时间变化的快慢。这句话可能有些绕，其实就是说：加速度是位置对时间求两次导数，也就是二阶导数。可以表示成：所以可以把牛顿第二定律写成：这就是个微分方程，含有某些量的导数或微分。
准确地说，这是个二阶微分方程，求导数的最高阶数是二阶导数。至此，微分方程被引出了，下面我就借助振动现象来展示一下微分方程的威力：（对共振进行“降维打击”）从简谐振动谈起简谐振动是最简单的振动，一切与振动有关的现象都要从简谐振动谈起。不过我却不想从振动开始谈论简谐振动，我想从“法则”开始这个话题，向大家表明：简谐振动是一定的“法则”和条件之下的必然产物。
这个“法则”就是牛顿第二定律，我们只需要给定一个具体的力，求解牛顿第二定律这个微分方程，就可以得到各种可能发生的运动。我们常说的方程是代数方程，代数方程的解是一个数。而微分方程的解是一个函数（或者说是代数方程），对于牛顿第二定律，它的解是运动方程，描述着物体的位置随时间变化的规律。物理学的精髓是测量与描述。
最好是用数学语言去描述世间万物。代数方程描述的只是表象，微分方程描述的是表象背后的规律，所以那些伟大的物理公式都是微分方程。描述简谐振动的方程也仅仅只是表象，对于振动，我们真正需要知道的是振动背后的规律，或者说是法则。简谐振动背后的法则自然是牛顿第二定律，不过这一次要给出一个具体的力：这个力是回复力，x表示的是物体偏离平衡位置的位移，负号表示力的方向和位移的方向相反。
只要物体受到的合力满足这个公式，物体就可以做简谐振动。这个公式和胡克定律很像，所以弹簧和物块是演示简谐振动最简单的模型。支配这个系统的运动状况的法则是牛顿第二定律，此时的牛顿第二定律是：（k是弹簧的劲度系数，m是物块的质量。）求解这个微分方程，可以得到物块可能发生的运动模式。为什么只是可能发生的运动模式，不能明确一点吗？这是由于想要得到明确的运动模式还需要知道这个模型的初始条件。
也就是物块的初始位置，以及物块在初始位置时的速度。此时的牛顿第二定律的解可以有2种运动模式：1.如果物块的初始位置没有使弹簧被拉伸或压缩，而且物块的速度是零，那么物块将会静止，不会振动。2.如果物块的初始位置使弹簧被拉伸或压缩了，或者初始位置没有使弹簧被拉伸或压缩，但是物块的速度不为零，那么物块确实会振动。
这也就是说简谐振动只是这个模型可能发生的一种运动模式。解微分方程可是个技术活，所以本文直接摆出结果：（为了不吓到读者，我就不写具体的数学公式了，只画出图像让大家直观感受一下各种运动模式。）简谐振动的频率仅由系统本身的性质决定，在这里是由物块的质量m和弹簧的劲度系数k决定，这个频率也被叫做系统的固有频率。
计算固有频率的公式：阻尼实际的振动都有阻尼，振幅会不断减小，直到静止。我仍然不打算从振动开始这个话题，而是从“法则”开始这个话题，向大家表明：有阻尼的振动是一定的“法则”和条件之下的必然产物。（同样的，不发生振动也是一定的“法则”和条件之下的必然产物。）阻尼在微分方程里面表现为阻力，这里的阻力通常是指固体在流体中运动时受到的黏滞力：C是一个与固体的形状和流体的性质有关的常数，v是固体的运动速度，负号表示阻力的方向与固体的运动方向相反。
阻力的公式也可以写成：此时的牛顿第二定律是：这个微分方程的解是什么？答案有些复杂，因为可以分为4种运动模式：静止，这没什么可说的。过阻尼、欠阻尼、临界阻尼则是靠弹簧和物块组成的这个系统的性质决定的：这也就是说有阻尼的振动仅仅只是这个模型可能发生的的一种运动模式（振动频率仍然是系统的固有频率），其它运动模式并没有发生振动。
大家试想一下，如果我一开始就执着于振动，那么会遗漏多少内容？驱动力上面谈论的都是无驱动力的自由振动，这里要谈论有驱动力的受迫振动。可以把振动的类型分为：我们在一步步走向最普遍的振动，简谐振动是无阻尼的自由振动，最普遍的振动是有阻尼的受迫振动。有两种类型的驱动力可以引起振动：周期力非周期力非周期力驱动的振动是自激振动，涉及到非线性过程（比如风吹树叶发出声音），只要看到“非线性”三个字，就意味着是物理学界的难题。
所以这里只谈论周期力驱动的振动，同样是从“法则”开始这个话题，向大家表明：受迫振动是一定的“法则”和条件之下的必然产物。周期性的驱动力可以表示为：（ω是驱动力的角频率。）考虑最普遍的情况，既有阻尼，又有驱动力，此时的牛顿第二定律是：这个微分方程的解只有1种运动模式：此时的振动频率不再是系统的固有频率，而是驱动力的频率。
速度共振和位移共振仍然考虑最普遍的情况，既有阻尼，又有驱动力。尽管此时系统的振动频率不再是固有频率，但是固有频率依旧在影响着系统的振动，它决定着驱动力在一个周期内对物块做的功的多少。在一个周期内，驱动力对物块做的 正功 越多，物块的速度峰值就越大；驱动力对物块做的负功越多，物块的速度峰值就越小。如果驱动力在物块运动的整个周期内都做正功，物块的速度峰值将会最大，这就是速度共振。
此时，驱动力对系统的能量输入达到最佳状态，所以速度共振又被称为能量共振。可以想象，驱动力的频率与系统的固有频率相同时，驱动力将在物块运动的整个周期内都做 正功，此时就发生了速度共振。事实也确实如此，可以从牛顿第二定律出发，推导出速度峰值计算公式：补充一下β的定义公式：可以用一些数学方法得到速度峰值最大时（速度共振）对应的驱动力频率：此时驱动力的频率与系统的固有频率相同。
接下来又有一个问题：速度峰值最大，就意味着振幅也最大吗？光靠脑子想是不可靠的，想要得到可靠的答案，就需要数学计算。可以从牛顿第二定律出发，推导出振幅计算公式：这个公式的图像就是一些资料里经常出现的这张图：观察上面的公式，可以用一些数学方法得到振幅最大时（位移共振）对应的驱动力频率：很容易看出，振幅最大时，驱动力的频率并不等于系统的固有频率。
也就是说位移共振的共振频率并不等于系统的固有频率。（数学的力量就是这么强大，可以把握每一个细节。）一般工程中所说的共振就是位移共振，位移共振又叫振幅共振。写在最后有很多人主次不分，把各种细枝末节捧得太高，执着于“猎奇”，却一直忽视完整的方法论。就共振来说，它仅仅只是动力学中的细枝末节。掌握了一套完整的知识体系，理解那些奇特的现象是水到渠成的事，否则即使你了解了那些新奇的现象，也仅仅只是自以为是。
为什么共振能释放出巨大的能量？
共振是在外界载荷的激励下，当激励频率与结构固有频率一致时，发生振幅变大的现象。共振本身并不是一个释放能量的过程，相反，共振实际上是结构在外载作用下积聚能量的过程。当积聚的能量超过了结构能承受的极限时，就会发生破坏，此时才是能量的释放。结构破坏所释放的能量也没有放大，依然遵循着能量守恒定律。1、共振的故事说到共振，相信很多小朋友都听过一个小和尚的故事。
有个小和尚有一个乐器钹，挂在房间内。晚上的时候，这个钹会自己响起来，吓坏了小和尚。后来，老和尚发现，只要寺里的大钟敲起来，这个小钹就会自己响。老和尚毕竟经验丰富，拿起锉刀，在钹的表面挫了两刀。从此以后，这个钹再也没有响过。2、共振的原理上面这个小故事中，钹的响动是由于受到大钟的影响。大钟被击打后发出声波，声波传递到了小钹上，于是小钹开始振动起来。
当传过来的声波频率与小钹的振动频率接近时，振动的幅度就变的很大了，从而小钹开始发出了声音。这里，大钟传递过来的声波就是一种外载激励。外载不仅仅是声波，其他一切对物体的作用都可以是外载，这种作用通常以力的形式表现出来。这是共振的首要因素，即存在外载的激励。共振另一个因素就是结构的固有频率。固有频率是结构的一种属性，它与材料、结构形状、约束形式有关。
力学上，固有频率有严格的推导过程，从n个自由度的运动微分方程开始，经过数学处理后得到频率方程。这是一个跟ω有关的多项式，根据这个方程，可以得到n个ω，即n个固有频率。从这个固有频率的推导过程来讲，固有频率是结构发生简谐位移的时候的一个运动频率。得到固有频率后，就可以得到具体的简谐位移表达式，即得到了结构的阵型。
对于复杂结构来讲，想要纯粹通过求解运动微分方程得到固有频率是不现实的。可以利用有限元的方法来计算。如上图，利用有限元软件，得到结构的固有频率和模态振型。当外载的激励频率与结构自身的固有频率接近时，结构的振动就会越来越大，如上图所示。所以，共振频率与固有频率实际上是两个概念，两者数值上接近，但是不一定相等。
3、共振的危害结构的共振是工程中极力避免的情况，因为它会造成结构振动幅度越来越大，直至整个结构发生破坏。历史上最著名的共振事件当属美国的塔科马桥共振坍塌事件了。1940年建成的斜拉索桥，在中等风速的作用下，恰好风的作用频率与桥面的固有频率接近，于是发生事故。当时，刚刚好，有一位记者在现场，拍下了这段珍贵的画面。
事后，有学者对桥梁进行了分析，发现19m/s的风速吹过桥面是，产生的涡流（如下图）频率与桥面的固有频率接近了。共振就是风毁桥梁的罪魁祸首！4、共振的能量知道了共振的原理，相信也就知道了共振的能量来自何处。实际上，结构受到外载的激励发生振动，这个过程中，外界始终在向结构输入能量，这部分能量一部分通过变形转化为应变能，另一部分通过振动的形式耗散掉。
结构能够存储的应变能是有限的，当结构无法再存储的时候，就是结构发生破坏的时候。所以，发生共振时，结构振动幅度越来越大，变形越来越大，存储的变形能也越来越大，终于承受不住，发生破坏。所以，共振过程是积累能量的过程，积累的能量来自于外界的输入。当破坏发生的时候，结构存储的能量通过断裂的形式释放出来。这个释放的能量并不巨大，是跟材料的断裂能和断裂的面积有关。
