到这里即便是事实摆在面前，肯定有人像我一样，依然觉得追龟会一直进行下去，我是这样说服自己的：直觉：一个无线的序列加起来怎么可能有限？可以，极端的例子就是可列个0加起来等于0；直觉：总觉得序列相加需要花费时间？◆在数学上，运算只有算了才花费时间，上面的追龟问题，利用巧妙的方法，避免了无限次相加的运算，所以所花时间固定。
圆是无限多的正多边形组成，那么是不是理论上没有真正的圆？
自然界中没有“真正的”圆完美的圆只是一个想法，而不是物理上能够存在的。在理论上，一个完美的圆，圆周上的每个点到其中心点的距离都完全相同。但是，当涉及到真实的圆时，这是永远不会实现的。首先，我们铅笔的石墨或笔的墨水不会形成完美的线条，因此从定义上讲，我们无法画出完美的圆形。甚至我们屏幕上的“完美圆圈”也只是由像素组成。
由于现实不是由完美的线条组成，而是由基本的构造块（分子和原子）组成，因此任何物理圆都必然只是圆的形式的近似，因为它偏离了几何的完美性。用电子显微镜成像时，玻璃的光滑表面实际上看起来非常粗糙，这就是事物的本质。在微观层面上，它显示出瑕疵和结构，而在宏观层面上，我们看到了平滑和完美。即使偶然地所有分子排列成一个与中心的距离完全一致的圆，即使一个圆在宏观水平上看起来像是一个完美的圆，在微观水平上，圆也会有颗粒感，无论圆组成的材料是什么。
既然圆周率＝圆周长/圆直径，那么圆周率怎么会是个无限不循环小数？
这个问题问的太好了！能发现这个问题说明，你对数学的本质有了极深的造诣！很多人都认为这是个废话！那是因为他们不知道有理数，和无理数的差异。这句话绝对不是嘲讽。题主的问题是：圆周率＝圆周长/圆直径，那么圆周率怎么会是无限不循环小数！这个问题的因果关系建立在，分数与有理数，无理数的关系上。展开问题为：1.圆周率π是无理数2.分数是有理数3.既然圆周率π，可以用分数（圆周长/圆直径）表示出来，怎么可能是无理数（无限不循环小数）？各位，知道我说题主问的好的原因了吧！思维灵活，逻辑有条理。
勇于质疑。终成大器！下面，我来告诉你为什么π是无理数！说来话长，这还是得从圆周长说起，老师教我们公式前是怎么测量圆的周长的？直接上图不吊胃口！有人已经明白了！首先得承认我们从未真正测出或者算出圆的准确周长……其次圆周率是我们为了更加准确方便计算圆周长而诞生的。最后，圆周长/圆直径只是个计算形式，不是分数！所以这就不产生矛盾了。
圆周率π等于周长除直径，为什么除不尽？是不是因为人们测量周长和直径有误差？
测量是肯定有误差的，但圆周率除不尽和测量没有关系，因为圆周率已经从数学上被证明是无理数了（即无限不循环小数）。虽然圆周率是定义为周长同直径的比值，但圆周率的数值计算却不需要真的去测量一个圆的周长和直径，况且测量本身就带有误差，这对于圆周率的精确反而没什么好处。通过不同的数学手段，人们已经找出了很多种不同的计算方式。
π是一个无理数，那么圆的周长也应该是无理数，但圆的周长是固定的啊，怎么解释？
在代数上，π＝3.1415926... 是一个无限不循环小数，直觉告诉我们它一直在变动的数。在几何上，直径等于1的圆周长度是π，生活常识告诉我们圆周是长度固定不变的曲线。但是，不管是代数还是几何都是同一个π，于是截然相反的直觉和常识中只有一个是对的，那就是常识，即：π是固定不变的。那么，为什么我们在代数上的直觉错误呢？这和称作极限的数学概念有关。
极限最早是和一些悖论联系在一起的，其中最有名的莫属古希腊时期芝诺提出的追龟问题：古希腊跑的最快的英雄阿基里斯追赶一只爬在前方的乌龟。阿基里斯对准乌龟的当前位置跑过去，当他跑到该位置时，乌龟已经向前爬了一段，于是阿基里斯又对准乌龟的新当前位置跑过去，当他跑到该位置时，乌龟又向前爬了一段，于是...。这个循环会进行下去，我们的直觉告诉我们 阿基里斯 永远 追不上 乌龟。
可是这又违反我们的生活常识：跑的快的人总可以追上跑的慢的人。同一个事物只能有一种可能，这里，常识是对的，直觉又是错的。我们可通过具体分析找出问题之所在，设，阿基里斯 和 乌龟的 速度分别是 w 和 v，显然 w
