已经计算出轨道的彗星，约有40%是椭圆轨道。椭圆轨道的彗星可以有规律地返回太阳，这种彗星称为周期彗星。众所周知，最小的椭圆轨道科恩彗星绕太阳运行的时间只有3.3年。已知最大的椭圆轨道彗星是1914年出现的一颗彗星。它是已知最长的彗星，周期为2400万年。
为什么行星绕日是椭圆轨道，而不是正圆轨道？
答：一般的解释，用开普勒定律就行了；要去证明这个结论，对数学有较高要求；不过相信有部分读者，希望我能给出严格数学的证明，那我们就来试试吧！万有引力的历史开普勒定律，在1618年由德国科学家开普勒提出，开普勒第一定律就指出了行星运行的轨道为椭圆；万有引力定律，在1687年，由牛顿于《自然哲学的数学原理》上发表。
两者是统一的，开普勒定律是万有引力的表象，意味着我们可以由万有引力定律，去推导开普勒三大定律，在历史上，最先有万有引力和距离平方成反比想法的，是英国科学家胡克，就是那个对牛顿来说嫉恶如仇的胡克。最先胡克是牛顿的领导（英国皇家学会会长），胡克在数学上远远不及牛顿，虽然胡克有了万有引力的想法，但是仅限于想法而已，
好比某些民科，天天唠叨这个是错的，那个是不对的，我的说法才是对的！然而，并没有什么用，因为他只会做“猜想”，然后什么也做不了！（当然，我的意思并不是贬低胡克，胡克也是一位伟大的科学家）胡克就失败在这里，不然发现万有引力的皇冠，就是他的了！胡克还是英国皇家学会会长时，请教过牛顿，问牛顿是否能通过“引力和距离平方成反比”，来推导行星椭圆运动规律，牛顿给胡克的回答是肯定的，但是并没有告诉胡克具体的推导过程。
牛顿大神利用自创的微积分，加上天才的头脑，推导行星椭圆轨道，简直就是易如反掌，以至于后来牛顿和胡克，因为“万有引力第一发现者”而结仇，当牛顿坐上英国皇家学会会长的位置后，恨不得把胡克打入“十八层地狱”。万有引力定律推导椭圆轨道在这里，我们不用牛顿的证明方法，我们借助虚数的性质来证明，会更容易些，但是过程并不简单，
第一步：万有引力定律大家都知道，但是大家知道万有引力的矢量形式吗?其中（-e^iθ）借助欧拉公式后，表示的就是单位大小的矢量因子，给出了万有引力的方向，同时与万有引力结合参与运算；至于负号，是因为θ=0时，万有引力方向指向原点；然后利用牛二定律，得到加速度a。第二步：这里，我们需要来研究一下，速度和加速度极坐标的微分形式：请记住这两个方程，后面需要反复用到，
第三步：根据前面万有引力得到的加速度公式，和（2）得到微分方程：是不是有点吓人！第四步：不过注意啦！我们引入虚数是有原因的，我们让实部等于实部，虚部等于虚部，就能化简为两个微分方程。第五步：对于第一个微分方程，不就是一个分部积分嘛，立马得到：其中c1为积分常数，有人可能看出来了，这是开普勒第二定律——面积定律！我们得到了一个结果，看样子并不难！第六步：但是对于第二个微分方程，求解很困难，我们先放到一边；因为对于第一个微分方程，我们还没利用完，把面积定律的结果，再次带入最先得到的加速度公式：第七步：然后把我们得到的速度，带入速度的微分形式（1）：第八步：这里，同样可以简化为两个微分方程：第九步：对于第二个微分方程，再次带入面积定律，将得到万有引力下，物体运动的轨迹方程：这不就是，圆锥曲线的标准方程吗？其中e为偏心率！（1）当e=0时，曲线为正圆；（2）当0
