虚数i的几何意义是什么？
虚轴上的单位长度。相当于实轴上的1，其在四则运算里的作用，也相当于1，只是换了说法，结果就是不想学复数的存在开始胡思乱想了，虚的，不存在这个世界里吧等等。另外，难道说虚数很高大上么？怎么我看到的复数问题，都冠以虚数这个词呢？前代数学多聪明啊，把complex number翻译成复数。复数，就不是一个数能处理的了。
整天说虚数，基本上不明白复数，高中课本里就有，看看不就得了。愿意看的深刻点，读读数系的扩充。这个问题其实和问负数的几何意义一样，是等价的。当时负数怎么理解的，纯虚数就怎么理解。算了，为了公益，我再从数系的扩充和代数方程的根这两方面来说一次，就当对另外一个复数问题的补充。来到原始社会或者小学时代。今天我采到4个苹果，你采到3个。
挺好，一共是4 3=7个。这里隐含一个自然数的性质，就是自然数集N对于加法这种运算而言，是封闭的。具体点说，4是自然数，3是自然数，它们的和7，仍然是自然数，仍然在自然数集里。抽象点说就是如果a∈N，b∈N，那么a b∈N。结果，问题来了，除了有 这个运算，还有一个＋的逆运算-。采到7个苹果，要分给8个人吃，这怎么办？分不开啊！用式子说，7-8=？用方程说，8 x=7的解不存在。
(注意，这时在原始社会或者小学1年级的)。好吧，我们总结一下这个问题的实质：减法对自然数集N不封闭，或者说方程8 x=7的解不在自然数集N里。为了使得上述方程有解，或者说，对“-”这种运算封闭，就引入了负数，并把这种新的数也放入自然数集N里，这样自然数集N就扩充成整数集Z。继续，随着生产力提高/年龄增大，又有一种新的运算产生了，就是乘法“×”，可以容易的看出，两个数的乘积，仍然在整数集里，当时乘的逆运算除➗，又出现了刚才在说减法时的状况。
具体点说，无论是3÷4或者4÷3，产生的新数，都不在整数集Z里！用方程说4x=3和3x=4在整数集内都无解。抽像点说，整数集对于除法，是不封闭的。也可以认为，除法运算产生了不在整数集Z里的数，那么自然要扩充整数集，得到了熟悉的有理数集Q。类似的，我们继续扩充数集，使得x^2=2这类方程有解，并把新产生的数通通扩充到有理数集Q里，这样，我们就得到了熟悉的实数集R！最后，还有一类方程无解，最简单的就是x^2=-1。
那么这时，你难道不能意识到，实数集并不是最大的数集，它还可以扩充么？于是，虚数单位i就产生了。并且，还产生了型如a bi的新数。把新数扩充到实数集R，就是复数集C！i这个数，实数轴上没有，它在与实轴垂直的虚轴上。在哪里，i就相当于实轴里的1。随着数系的扩充，原来很多数自身的性质都消失了，例如比较大小。
