圆的面积和半径绝对不会是无限的，那圆周率到底是不是有限的？
提问的同学首先你要理解数学上的无限是什么意思。一个圆，假如指定了半径大小，那么这个圆的面积也就确定了。即S=πR²，这个面积计算公式里有圆周率π。我们都知道π是一个不同寻常的数字，它无限不循环，也就是说，你永远算不完圆周率，即使用最先进的超级计算机永远也算不到最后一位。这是圆周率无限的由来，但是同时圆周率又是有界的。
小学生都知道π在3.1415926和3.1415927之间。这个结论最先是由我国古代杰出数学家祖冲之得到的，他使用刘徽创立的割圆术，内外逼近，内接正多边形是下界，外接正多边形是上界。就这样，一直计算到12288边形，终于得到了这个在当时精确无比的数字。数学上的无限一般指的都是发散，比如调和级数的和就是发散的，虽然看起来每一项都在逐渐减小，但是你指定一个值，这个级数的和总会加到那个值，虽然调和级数的增加速度非常缓慢。
很多人不理解为什么圆的面积明明是确定的，计算圆面积的π却可以是一个无限不循环小数，难道这里不冲突吗？这里的π只是一个表示圆周率的符号，它和根号2，根号3没有什么区别，你在平时计算中可以保留根号2，根号3，那为什么就不可以保留π呢？根号2和π同样也是无限不循环小数啊。假如我们需要具体的计算数值呢？那就根据你的精度要求取多少位来，这一点根本不用担心，现在人类已经把圆周率计算到小数点后31.4万亿位了。
随便取，不着急！事实上有人计算过，假如我们把整个太阳系作为一个圆来计算其面积，取π小数点后35位有效数字，就可以把太阳系的面积精度控制在一个质子的大小以内。所以人们日夜不停地计算圆周率，其实不是为了要在实际中用到这么高的精度，主要目的一个是检测硬件性能，另外一个更重要的原因是检验某些算法的执行效率。。
既然圆周率＝圆周长/圆直径，那么圆周率怎么会是个无限不循环小数？
这个问题问的太好了！能发现这个问题说明，你对数学的本质有了极深的造诣！很多人都认为这是个废话！那是因为他们不知道有理数，和无理数的差异。这句话绝对不是嘲讽。题主的问题是：圆周率＝圆周长/圆直径，那么圆周率怎么会是无限不循环小数！这个问题的因果关系建立在，分数与有理数，无理数的关系上。展开问题为：1.圆周率π是无理数2.分数是有理数3.既然圆周率π，可以用分数（圆周长/圆直径）表示出来，怎么可能是无理数（无限不循环小数）？各位，知道我说题主问的好的原因了吧！思维灵活，逻辑有条理。
勇于质疑。终成大器！下面，我来告诉你为什么π是无理数！说来话长，这还是得从圆周长说起，老师教我们公式前是怎么测量圆的周长的？直接上图不吊胃口！有人已经明白了！首先得承认我们从未真正测出或者算出圆的准确周长……其次圆周率是我们为了更加准确方便计算圆周长而诞生的。最后，圆周长/圆直径只是个计算形式，不是分数！所以这就不产生矛盾了。
