这样更为完善的函数论直接导致了数学发展的变革，成为了现代数学的基本工具。黎曼积分的求和过程是有限分割——近似求和——取极限。这样数学分析就将大量函数排除在外，完全不能适应数学的发展了。例如在勒贝格控制收敛定理中，并不需要假设极限函数可积，这对黎曼积分来说是不能实现的。
实变函数和数学分析最本质的区别在于二者的测度论基础不同，前者建立在勒贝格测度论基础上，而后者对应于若尔当测度。简单来说，区别就在于可数可加性与有限可加性，这很大程度体现在黎曼积分论和勒贝格积分论的区别上。黎曼积分的求和过程是有限分割——近似求和——取极限。这样的“有限”性就极大地限制了数学分析所能研究的范围，必须要固定在至多有限个点不连续的函数范围内，否则将出现[0，1]间有理数不可测这样的“不和谐”，直观一点来看，例如黎曼积分不适用狄利克雷函数。
这样数学分析就将大量函数排除在外，完全不能适应数学的发展了。勒贝格的测度论摒弃了有限可加这样的限制，提出了具有可数可加性的测度论，并以可测函数代替连续函数，这样就大大扩展了可研究的范围，将之前不可处理的“病态函数”纳入麾下，比如此时有理数集Q∈[0，1]可测，狄利克雷函数也将可测可积。这样更为完善的函数论直接导致了数学发展的变革，成为了现代数学的基本工具。
黎曼积分通过划分定义域来求和，而勒贝格积分通过划分值域来求和 ，这样就避免了区分定义域中不连续点的麻烦，体现了勒贝格理论巨大的优越性。例如在勒贝格控制收敛定理中，并不需要假设极限函数可积，这对黎曼积分来说是不能实现的。然而勒贝格积分同样是有缺陷的，由于划分的无序性，这就要求勒贝格可积函数必须是黎曼绝对可积函数，那么这样就会排除掉一些重要的黎曼可积而不绝对可积的函数，但这样的函数可积又是有现实意义的，例如这样的缺陷说明勒贝格理论也不是完美的，所以后来又发展出很多种积分论，但都不能调和所有的矛盾。
