用相同的方法把每一条小的线段的中间三分之一替换为等边三角形的两边，得到了16条更小的线段…… 如此这般我们经过5次操作，会得到下面的图形，注意图中顺序，你发现什么了？从第二步开始基本形状就固定了，但是它的边缘在不停的细化又细化，最后一步变得都有些毛茸茸了。其实这个边缘能够按照这个规则无线细分下去。你想像一下，会得到什么图形呢？答案是它还是这样一个形状，只不过它的边缘会无限的精细，每个突出的小三角形都和它所生长的那个大三角形的形状完全相同，只是大小会有差异罢了。
这个东西有个名字叫做“科赫曲线” ，那么下面我们把三个科赫曲线分别错开120°排列起来：是不是很熟悉？对了，你仔细观察一片雪花，也会是这样的。其实不只是雪花，一片树叶、俯瞰地球上的海岸线边缘，其实都是类似的“自相似”特性的。那这种看着很神奇的自相似图形到底有什么特点或者规律呢？这就要数学出场了！还是以科赫曲线为例子，它的长度变化用数学表达的话：第一步：最开始的一段直线，分成了3份，接着把中间那一份替换成了两份，因此总长变成了 4/3第二步：上面这四段中每一段直线又变成了之前的4/3 也就是最初的 (4/3)^2 = 16/9第三步：重复上述操作，这16段的每一段又变成了之前的4/3，因此是最初长度的(4/3)^3... ...下面就很明白了把，随着这种分解无限进行下去，最终长度会变为无限长，也就说明明这段科赫曲线的长宽都摆在那里就是这么大，但是从数学上说这段线段的长度随着不断的细分，最终是无限的，因为它的总长是(4/3)^n如果类似的方法你来算一下刚才那朵“雪花”的面积，你会发现它等于Σ4^n/9^n，随着n增大，这个面积却是有限的。
这简直太不符合常理了，一般来说一个无限长的曲线应该围住的面积也是无限的啊？但是分形（Fractal）就是这么有意思，如果没有数学工具的帮助，恐怕这种自相似也就在我们脑海中一闪而过吧，肯定是无法发现这么神奇的规律，乃至创建一个分形学的学科了吧。其实还有很多科学，本来文科属性很重呢，数学这么一掺和，马上深刻了很多，比如生物学，达尔文那个时代还叫做“博物学”，还是拼谁记忆力好谁就成就高呢，结果孟德尔提出了遗传定律，把概率论给掺和进去了，然后生物学后面的发展就和数学结下了不解之缘，至于什么进化论的现代综合，当代进化、遗传学等等都随着数学工具的加入跟着诞生和快速发展起来了，生物学也早就不是文科的东西了。
数学真的是一门有意义的学科吗？
