但，彭加莱却认为数学是自由直觉，是人的本能。不管是空间是代数系统，在布尔巴基学派看来都是结构，《数学原本》将“数学是对结构的研究”这一观点发展到极致。李发现实数即是空间又是代数系统，于是将空间的推广—流形和代数系统—群结合一起研究这就是李群。
什么是数学的原理？
不同时期、不同地区的数学家对于数学原理的看法不尽相同，以下是我所知道的，供题主和各位网友参考：早在苏美尔和古埃及时期，人们就学会了算术，后来又因为农作、建筑、历法等的需要 出现了 几何。算术是基础，几何建立在算术之上。直到古希腊前期，大家普遍认为，数学就是对自然数（不包括0）的运用。毕达哥拉斯的 《比例论》，将 万物皆数 推向极致。
但，很快 西帕索斯 就发现了 √2 这个不可公度量，史称第一次数学危机。后来欧多克斯用 几何量 代替自然数，修复了 《比例论》，但这导致几何代替算术成为了数学基础，古希腊数学家也将注意力转向了几何，他们最终的研究成果被 欧几里得 整理在 《几何原本》中。同样是古希腊，因哲学的需要，亚里士多德《形而上学》引入了 形式逻辑。
当然这时 逻辑 和 数学 还没直接关系。同一时期的中国数学家，同样也对数学进行了 大量研究，成果记录在 《周髀算经》《九章算术》《孙子算经》等 著作中。和古希腊数学追求 理论证明 不同 中国数学 讲究的是 计算应用，即，数学的本质就是 计算。随着时间的推移，中国数学 阴阳（正负） 的思想 传到了 古印度，古印度数学家又加入了 空（零）的概念，从而发明了现在的 阿拉伯数字，并将数字扩充到整个实数。
阿拉伯人，花剌子模 结合古希腊和古印度算术，引入未知数，创立的 代数，并确立了代数的研究对象之一 方程。时间到了文艺复兴时期。阿拉伯数学的传入欧洲，激活了欧洲人研究数学热情。笛卡尔利用 坐标系 第一次将代数和几何关联起来，建立的解析几何，开启了数学的分析时代。牛顿和莱布尼兹 各自在 解析几何 之上 通过 无穷小量 建立的微积分。
但，无穷小量 有时候是 零，有时候不是 零，这遭到了当时数学家的质疑，这就是第二次数学危机。柯西等人创造了 极限 的概念，弥补了 无穷小量 的缺陷， 第二次数学危机完美度过。同时，莱布尼兹还在亚里士多德的基础上提出创造逻辑语言，以代替自然语言，解决自然语言表述不准确的缺陷。时间进入18世纪，数学开始大爆发。
数学家发现了欧几里得空间，从而 数学 从研究 一个个具体的点、函数，转而研究 所有点、函数 组成的 空间。后来随着 空间的 研究 出现了 拓扑。与数学在分析方向的 迅猛发展不同，无理数还没有完全解决，代数又在解一元高次方程上遇到了困难：数学家发现 5 次方程 就是找不到 求根公式。天才数学家 伽罗瓦 敏锐的发现：求根公式是由 常数 和 运算 组成的，因此要研究清楚解方程问题，必须将 它们一切研究，于是开创了对 代数系统 的研究方向，从而最终完美的解决了该问题。
