代数的另一方向上，康托尔 创立了 集合论 并结合 皮亚诺的 算术公理，将 数字 用 集合表示，同时 戴德金 利用 分割的 方法，从 有理数集 构成除了 实数集（包括无理数），完美的解决了 第一次数学危机。他们的共同努力，使得 集合 代替 数字 和 几何量 成为了 数学基础。这一切都看似很完美，但还是出了问题：集合论 可以通过概念的外延 和 内涵 两个手段定义 集合，罗素发现 用 内涵定义的 集合 有悖论，“理发师声称只给那些不自己刮胡子的人刮胡子，那么，理发师 给自己刮胡子吗？”，史称第三次数学危机。
后经数学家研究，发现 不能直接引入 内涵 作为公理，而是要用一组公理代替它，这就是 数学 公理化 的开始。碰巧的是，经过二个世纪的努力，莱布尼兹的逻辑语言，终于被哲学家们创造出来了，逻辑语言马上就 和 公理化 相结合，这时的 逻辑 成为了 数学的基础。不过，早在一个世纪前，布尔 就发明了 用 布尔代数 来描述 逻辑，后来被发展为 格论，所有说：格论 和 形式逻辑 互为基础。
但有格论有一个缺陷是： 无法定义 模态逻辑 的 模态词。随着 公理化 的进程，大家发现 为了证明新的定理 有时候要 不断增加新公理，那么，有没有一套固定不变的公理，可以推导 出所有 算术定理呢？哥德尔给出了否则的答案：一个算术系统的公理集合，在 没有悖论 和 可以推导出所有算术定理 之间只能二选一。在几何方面。
高斯在解析几何的基础上，结合微积分 创立的 古典微分几何。之后黎曼在其老师高斯的 曲面论 基础上 结合 拓扑学，将 用一个坐标可表示的 欧氏空间，扩展为 用多个坐标同时来表示的 流形，从而开启了 现代微分几何的大门。另一方面，彭加莱 在 拓扑空间 中 找到了：基本群 和 同调群，两个代数结构，开启了 代数几何 的研究之路。
时间进入了20世纪。罗素的 《数学原理》的出版，将“逻辑和集和 是数学基础”，这一观点夯实。不管是 空间 还是 代数系统，在 布尔巴基 学派 看来都是 结构，《数学原本》将 “数学是对 结构 的研究” 这一观点 发展到极致。但，彭加莱 却认为 数学 是 自由直觉，是人的本能。"数学是计算" 这个来自中国数学的看法，一种在默默发展，中国人先后发明了 算筹 和 算盘，帕斯卡 也 研制出了 滚轮式加法器。
丘奇在 递归论 的基础上 发明了 λ-演算 开启了 计算证明 之路，而其 学生 图灵 发明了 图灵机 它比 λ-演算 更简单，但却是等价的。 证明就是计算，如果 图灵机 可以停机，就意味着，所有的证明 都可以在有限时空内 得证，这就是 停机问题。后来 冯诺依曼 在 图灵机的 基础上建立的 冯诺依曼体系结构 从而 计算机 诞生。
计算机 就是 "数学是计算" 这一思想 的 佐证 和 最终 产物。还有一种数学思想，一直被人忽略，那就是出身 赌博的 概率，由于一直找不到研究手段，而发展缓慢，后来结合微积分算术有了长足进步，但根基不牢靠，直到 柯尔莫果洛夫 将 用于 补足 黎曼积分 的 测度论 引入，概率论才真正 长大。 之后，大家发现 社会科学、经济学、AI 中的 事情 往往 符合 统计规律 ，于是 统计学 得到了 长足 发展 和 应用。
概率的思想，甚至将微积分推向一个新领域 随机微积分。随着 数学结构的研究，数学家发现 很多 结构 和 它们 之间 的映射 都是 相似，于是又将它们放在一起 称为 范畴 进行研究。随着 对 范畴 的研究，发现 它其实是一种 基于图的形式语言，并且发现 格论不能 定义 模态词 的问题 可以用 范畴中的 伴随 来解决。
于是 大家 就在设想 是否 范畴 可 代替 集合与逻辑 成为 数学的基础，这件事目前还在研究中...格罗滕迪克作为范畴的发明人之一，将其用于 代数几何，创造了概形，并将代数几何推向了数学的巅峰。（这部分我目前还看不太懂，所有只能说这些了）。李发现实数即是 空间 又是 代数系统，于是将 空间的推广—流形 和 代数系统—群 结合一起研究 这就是 李群。
对基本群的进一步研究，出现了 群表示论 和 复叠空间，对 同调群的 研究，出现了 同调论 和 交换代数。最后，还记得那个 最古老的算术 吗？克罗内克名言：“上帝创造了自然数，而剩下的一切都是人创造的。”，数学家一直没有放弃对它的研究，并发展出了 数论，在这方面 数学 的 本质 就是 素数。历史上，很多数学家都写过 类似 《...原理》、《...原本》 这样的书，数学太过复杂了，目前还没有大统一的理论。
