一维变二维，你可以理解为两个一维点的重合。就像一个钢丝，首尾相接，两个点共享一个点，你就得到了一个二维的铁圈。二维变三维，也是两个二维的点共享了同一个位置，在这里，它既是A点又是B点。那三维变四维呢？那就意味着，两个三维世界的点，会在某个位置重叠起来，这个点既在北京，同时也在上海，既在地球，同时又在火星。
确实有些神奇了！还有一个例子：莫比乌斯环和克莱因瓶。上图是莫比乌斯环，它是一个在某个方向上无尽的二维平面，如果你是个二维人，从三维看，你会永远在环的正反面转圈。你自己也犯嘀咕，以为世界就是这样的，没有穷尽。同样，下方的克莱因瓶。它展现的是某个方向上无尽的三维空间，从角度看，我们三维人会永远在克莱因瓶的两个空间中穿梭，我们仿佛感觉到，这个瓶子仿佛是无穷无尽的。
人类连四维都没有想明白，为什么就说宇宙是十一维的？
宇宙的宏观空间维度是三维的，更高的维度仅可能存在于微观量子世界中。数学和理论物理这两个领域只属于少数天才，所以大众整不明白也并不奇怪。能整明白，就可以以此为职业了。高维空间的数学研究很早就开始了，但在物理学使用这些概念前，研究这些概念的数学家大多被大众当成无害的怪人，整天想些虚幻不实的东西。图示：数学是物理学的基础，而且通常数学家的想象力总是走在物理学需要的前面，因此在数学和物理学界有个古老的玩笑，上帝一定是个数学家。
直到物理学发展到需要借用高维空间几何分析，来解决物理学上遇到的实际问题的时候，这些概念才开始慢慢进入大众视野，也开始吸引到大众对高维空间的兴趣。为什么物理学家需要用更多维度来解释宇宙呢？因为，三维空间无法容纳解释宇宙奥秘的大统一方程！物理学家相信整个宇宙的基础——注意是基础——都可以用一个“简单"的方程加以描述，这被称为物理学的万物理论，也被称为终极理论。
在研究终极理论的过程中，物理学家们发现只有三个维度的空间无法解决这个问题，必须要扩张空间的维度才行，而让他们感到惊喜的是，早在物理学提出自己的需要之前，已经有数学家们在百年前就开始了探索高维空间中的几何问题的研究可以拿到物理学中用。图示：如果存在宏观高维，万有引力也将在这个维度上施展它的影响，这将严重影响我们已知的世界至于宇宙在微观尺度上到底多少维，这个问题并没有定论，当然这里的所有额外的空间维度，都蜷缩在极小的空间中，存在于量子世界中，宏观世界只有三维这一点毫无疑问，否则万有引力都要出问题。
太阳系中的行星都将无法维持现有轨道。我们这代人难以想象高维空间，但有了现代计算机的帮助下，我们的后代将不会再像我们这一代这样对高维几何茫然不知，或许以后的高考中，就会有高维几何数学考试题，到那一天就不会有人问这种问题了。图示：用计算机做出的四维超立方体三维投影动画，可以帮助我们理解它，并想象第四个垂直方向。
"平凡"的高维：一分钟顿悟高维空间在日常生活中，更高维度属于科幻小说范畴。但在数学世界里，高维并不是什么特别的东西。虽然我们很难直观想象它们，我们生活的世界，每个点只需要由三个坐标定义，因为无法想象另一个进入方向，因此我们难以想象四维物体。但如果用代数而不是几何，制造高维物体就并不困难。首先来看一个单位圆，即半径为1，圆心位于原点（0,0)的圆，它的代数表示形式为：x² y²=1上面这个方程定义了圆环上每个点的位置，即不多也不少，当你把这个代数方程转变为几何图形时，你就会得到一个单位圆。
图示：标准单位圆 via wolframalpha现在，让我们在维度上跨出第一步，从二维进入我们同样熟悉的三维空间，要如何改造我们的代数方程：x² y²=1以便用它来表示一个三维的单位圆球的球面上每一个点所在的位置呢？三维单位圆球，就是球心在三维原点（0,0,0)，并且球的半径为1的球。非常简单！x² y² z²=1增加一个变量z即可，不信，那让我们用计算机把这个方程式的几何图形画出来看一眼吧。
图示：看到了吗，这是一个三维圆球，球面上的每个点距离圆心的距离都是1 via wolframalpha现在，让我们继续。如果我们这样写方程式，x² y² z² s²=1增加一个神秘变量s，这在几何学上意味着什么呢？它意味着我们写出的是一个四维空间的单位超球体上的每一个球体距离超球体球心（0,0,0,0)的距离都是1。
