我们可以用文字进行叙述，但我们已经无法画出也无法想象这东西了。当然我们可以通过降维的方法画出它的三维投影。图示：它拒绝画图了，因为这是一个四维超球体 via wolframalpha图示：一个超球体的投影图注意维度是这么增加的。圆的环——在二维平面中存在的一维闭合曲线圆球的球面——存在于三维空间中的二维闭合曲面超球体的球体——存在于四维空间中的超球面我们还可以继续增加变量，依次得到五维、六维乃至N维空间中的超超超超...超球。
所以在几何上难以想象的高维物体，在代数上可能并没有那么难。当然，我们只讨论了最简单的球体，而其它形状的几何体，是否存在相应的高维空间版本，这个问题必须具体问题具体分析。但但上述例子也是希望大伙儿了解一下，用代数研究高维物体也有很简单的时候，并非全都难得超越普通人能掌握和理解的范畴。我们是怎么知道，自己生活在三维空间的？最早认识到空间是有维度的观念，至少可以追溯到亚里士多德，他在其著作《天空》中表达过这样的观念：线在某种程度上非常重要，因为它定义了平面，也定义了实体，从长度到面积，从面积到体积。
天文学家托勒密则将这一基本观念进行了量化，他可能是第一个明确提出三维空间的人，托勒密为此专门写了一本讨论空间维度的书《维度》，在这本书中托勒密完成了一个重要证明，那就是证明我们所生活的空间维度不多不少恰好是三维。自此三维空间在西方知识阶层中慢慢成为必须知道的常识。图示：托勒密构造的和谐宇宙天球系统，在这个系统中，地球是宇宙的中心，所有其它天体都围绕地球运动，而空间到底有几个维度，就是个很重要的问题，搞不清这件事，是无法规划整个天球体系的。
公元二世纪中期，托勒密在其发表的《维度》一书中这样写道：距离是天体之间非常重要的一个属性，要试图理解宇宙的奥秘，我们首先必须对距离进行定义。但我们要如何定义距离呢，当我们对距离进行测量时，怎样的测量才是合理的测量呢？托勒密明确提出一个重要原则：垂直关系，他说，我认为定义距离必须沿垂直线进行如果是这样，那我们可以发现空间中的任何一个点，都可以被三条彼此垂直的线锁定，这三条彼此垂直的线，两条用来定义平面，第三条则测量纵深，除此之外再找不出第四条垂直线。
这就是为什么说我们生活在三维空间中的根本原因 。图示：三维空间本质，从原点到空间中的任意一个点如果两点间不存在一条直接简单连接的直线时，我们只需要三个彼此垂直的线段，就总是能精确到达三维空间中的任意一个点，不需要第四个垂直线段，也不存在第四个垂直线段，这就是三维空间的本意了。超越三维？数百年前的数学家大多认为任何超越三维的物体都是怪物，是纯粹的空想，毫无意义。
最先明确提到超越三维空间实体的数学家是Stifel（施蒂费尔，1486-1567），他说：超立方体仿佛像有三个以上的维度但马上他就声明：这是反自然的而数学家John Wallis（约翰·沃利斯）更加旗帜鲜明，他说：任何高于三维的空间对象是怪物，甚至比奇美拉（Chimaera）或半人马（Centaure）都要怪异。
长宽和高度，已经占据了整个空间。凡人无法想象在这三者之外，如何还能存在第四个空间维度。但数学家奥扎拉姆（Ozanam，1640-1717）则玩了个小花招，他首先表示尊重传统，即任何高于三个维度的实体都不是真实的，但他同时也小心翼翼地指出，数学有能力处理超越三维的事物，他相信数学能找到一套自洽的处理高维实体的数学方法，甚至多到如字母表那样多的维度（字母表有26个字母）。
高维合成几何学从考虑高维空间实体的角度，发明莫比乌斯环/带的数学家莫比乌斯，提供了第一个将三维实体转变成四维实体的例子，莫比乌斯环将由此变成著名的克莱因瓶。图示：嵌入三维空间中的二维莫比乌斯带，可以帮助我们理解高维空间。通过将二维平面在三维空间中扭转后黏贴在一起可以实现让平面的两个面自然过渡的效果，即在从一个面爬往另一个面的时候，没有明显的翻越障碍的地方，不知不觉就到了另一个面，而且这个循环无休无止。
想象一下，如果我们的宇宙也是一个嵌入到四维空间中的三维的实体，那么宇宙就可以即是有限的，同时又是没有边界的，你永远飞不到宇宙的边界，你只会回到原点。将莫比乌斯带在四维空间中黏贴到一起，可以得到另一个知名四维空间物体——克莱因瓶。图示：装不满的克莱因瓶克莱因瓶被称为瓶，只是因为它在三维空间中的投影像一个瓶子。
与莫比乌斯带相似，只是将维度提一等，莫比乌斯带对于二维生物来说是个让人迷惑的东西，那么克莱因瓶对于我们这样的三维生物来说也同样迷惑。因为这个瓶子没有内外之别，如果我们真的拥有一个真实的克莱因瓶，就会发现一件怪事，那就是这个看起来没有缝隙（在三维空间中没有）的瓶子，是永远也装不满的！因为任何装入瓶中的物体，仿佛突然间拥有了穿墙术，它们会通过神秘的第四维漏出来！换句话说，要是有一个真实的克莱因瓶，人类就可以真正的研究第四维了！但这东西只能在四维空间中制造得出来，在三维空间中是无法制造的。
就像上面那个莫比乌斯带，只能通过三维空间制造，无法在二维平面中造出来，虽然你可以把它投影到二维平面上，那就是一个扭转的8字。高维分析几何学虽然在合成几何学上要在想象中制造高维实体都很麻烦。但对于分析几何来说，只要不把高维几何体变成需要人类去想象的实体，仅仅是在数学上处理它们，则并没有想象中那么困难。1833年，数学家格林尝试探索高维空间几何的分析方法。
1847年，数学家柯西在《几何与分析》中宣布找到处理高维几何的数学方法1854年，数学家黎曼提出 “关于几何基础的假设”，讨论了N维空间中的流形，黎曼正式引入了无界但有限空间的概念，这一突破与四维几何形状密切相关。而黎曼几何是爱因斯坦广义相对论的数学基础。到19世纪末期，四维或更高维几何图形的专著和论文数量开始急剧增加。
