希尔伯特热忱地支持康托的集合论与无限数，他认为，为了加强数学的基础，支持康托的观念将是必要的。1902年，他在康托的一般集合理论的边缘发现了一个关于集合论的悖论。意想不到的是，表面上看起来，康托的集合论为数学建立了牢不可破的公理体系大厦。计划的第二步是证明数学是完整的。
为什么会有数学家反对对无穷集合使用排中律？
这个问题笔者感觉相当超级庞大，涉及现代数学发展潮流及趋势，相当抽象高深，研究生级别的课题，作为数学爱好者笔者斗胆班门弄斧，回答不当之处，留言点评，后续不断完善。引语"我们必须知道，我们必将知道"。你听到的，正是90年前，1930年，希尔伯特在他退休时演讲的最后六个单词，也是鼓舞一代数学家的六个单词。尽管当时第三次数学危机仍然阴魂不散，但他们坚信，数学大厦的基础是坚实的。
他们也坚信，任何数学真理，只要通过一代又一代人的不断努力，都能用逻辑的推理将其整合到数学的大厦中。这是何等的气魄！这是何等的梦想！但就在演讲前夕，他的同胞哥德尔，作出了一个断言，彻底打碎了这个梦。希尔伯特是一位名副其实的数学大师，被誉为“数学界最后一位全才”，他看待数学的眼光也是相当深刻的。在23岁时，他便以一篇关于“不变量理论”的论文跻身数学界。
他的证明方法在当时相当具有争议性。在这篇论文中，希尔伯特使用了非构造性的证明，也就是说他只能证明某个数学对象的存在性，却无法将它具体指出。他的证明依赖于对无穷的对象使用排中律，从而遭到了不少人的质疑。所谓的排中律，指的就是一件事非真即假，那么为什么针对这个还有反对的意见呢？罗素悖论引发出数学三个流派集合论是在19 世纪末由康托建立的, 使集合概念成为最基本、应用最广的一个概念，人们相信，全部数学的基础理论可用集合概念统一起来。
1900 年，在巴黎召开的国际数学家大会上， 庞加莱曾满怀信心的说：“ 现在我们可以说， 完全的严格化已经达到了。” 可是这话说出后还不到3 年，英国数学家罗素于1902 年给德国数学家弗雷格的信中提出一个集合悖论，使数学基础发生动摇，用弗雷格的话说：“突然它的一块基石崩塌下来了。”罗素构造了一个集合S：S由一切不是自身元素的集合所组成。
然后罗素问：S是否属于S呢？根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。因此，对于一个给定相关书籍的集合，问是否属于它自己是有意义的。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果S属于S，根据S的定义，S就不属于S；反之，如果S不属于S，同样根据定义，S就属于S。无论如何都是矛盾的。
