在柯西或者傅立叶的时代，大家脑子里可没什么“不可数集”“连续统假设”这种概念，那个年代的数学其实和现在非常不一样。其实“数学需要有个基础”这种观念，大约也是19世纪末、20世纪才得到重视。17，18世纪的数学实际上不是独立学科，那个时代的数学家往往又是力学家、物理学家，他们对学科之间没做那么明确的区分。
到19世纪末，20世纪，后来又受到布尔巴基学派的影响，大家开始整理数学自身的内容，开始出现结构主义，开始意识到有必要从逻辑的层面出发理清数学知识的脉络。所以这个时代希尔伯特写了 几何学的基础，这在17，18世纪看来估计是不可思议的事情——欧氏几何谁不知道，有必要对这种东西进行严格的公理化么？然后后来又有罗素等人的努力，慢慢把集合论公理建立起来，并且基于集合论强大的描述能力，大家开始把集合论作为整个数学体系的根基。
——当然也像其他答主提到的那样，集合论并不适用于描述所有数学，比如范畴论的某些部分，又比如Grothendieck universe这种东西，其实都是超越了ZFC所能描述的范围的。对数学基础的历史探讨，本身和数理逻辑、数学哲学的发展是紧密相关的，而这些领域绝大部分进展都出现在20世纪。包括范畴论、类型论等更新的替代集合论作为数学基础的方案，也都出现在20世纪。
还是那句话，“数学基础”本身就是个属于20世纪以后的现代数学命题。不过还是要说一句，也不是所有数学家都认同集合论作为数学基础。姑且不论范畴论、类型论，这个世界上甚至还有ultrafinists，他们抵制任何形式的无穷，坚持使用只涉及有限的语言来描述数学。——而且只使用“有限”的语言，其实是能够描述很大一部分数学的。
为什么有的科学理论明明是正确的，却让人难以接受？
△数学史上的三次危机，无穷世界的封印：康托的悲鸣一个云的集合。人们很早以前就明白：如果把一堆具有某种特定性质的元素放在一起，就能组成一个集合。研究集合的理论在数学上被称为集合论。它是众多数学理论的分支之一。然而，它在数学中却具有最为特殊的地位，它的基本概念已经渗透到几乎所有的数学领域之中。经过两千多年的发展，数学已经构建出一座无比富丽堂皇的宏伟大厦。
集合论，却始终是这座大厦最底层的根基。如果集合论出现了裂痕，整个数学大厦都可能摇摇欲坠。令人唏嘘的是，第三次数学危机就发生在数学的基石之上。一个关于集合的悖论很快以摧枯拉朽之势席卷了数学界，不仅让集合论风雨飘摇，更是差点将现代数学毁于一旦。两千多年以来，数学家研究的实体都是基于有限的集合，没有人试图踏入无穷的世界。
