比如说这样一个命题：π中含有任意长度的连续数字9。如果我们接受排中律的话，这个命题非真即假。但无论这个命题是真是假，我们都无法在实际上验证，因为要验证这个命题，我们都要将π无穷地计算下去，而这是不可能做到的。所以，人们对于将排中律用到这种无穷的情况仍有顾虑，因为这不是人们的直觉所能掌握的范围。也许正是因为这件事，希尔伯特动起了为整个数学寻求一个坚实基础的念头，于是经过多年在不同数学领域富有成果的涉猎后，希尔伯特将目光投向了整个数学。
对平面几何学的严格公理化，可能是他在这方面的第一个尝试，但他的思考绝不仅限于几何。他的目标是将整个数学体系严格公理化，然后用元数学，也就是“证明数学的数学”，来证明整个数学体系是坚实的。为了这个目标，他制定了著名的希尔伯特计划。首先，将所有数学形式化，让每一个数学陈述都能用符号表达出来，让每一个数学家都能用定义好的规则来处理这些已经变成符号的陈述。
这使得数学家可以摆脱自然语言的模糊性，取而代之的是毫无含糊之处的符号语言。计划的第二步是证明数学是完整的。这个完整包含了两个方面，一是完备，二是一致。所有真的陈述都能被证明，这被称为数学的完备性；另一方面，不会推出自相矛盾的陈述，则被称为数学的一致性。完备性保证了我们能证明所有的真理，只要是真的就可以证明；一致性确保我们在不违背逻辑的前提下获得的结果是有意义的，不会出现一个陈述，它既是真的又是假的。
计划的最后一步是找到一个算法，可以机械化地判定数学陈述的对错，这被称为数学的可判定性。那么如果希尔伯特的这三个计划完成了，意味着什么？首先，一致性是很重要的，因为我们不能接受比如说“哥德巴赫猜想既对又不对”这样的结论，一致性无疑就保证了自相矛盾的情况不会出现。在保证数学的一致性这个前提下，我们又有数学的完备性，也就是说只要是真的都可以证明。
面对直觉主义者对数学基础可靠性的尖锐批评，希尔伯特认为经典数学，以及在集合论基础上发展起来的新数学，都是人类最有价值的精神财富，是不能丢弃的,他说：“禁止数学家使用排中原则，就像禁止天文学家使用望远镜和拳击家使用拳头一样。”希尔伯特认为只要将数学形式化"构成形式系统"然后用一种有限性的方法，就能证明各个形式系统的兼容性，从而导出全部数学的无矛盾性。
希尔伯特的雄心勃勃数学基础研究规划最终被哥德尔的不完备性定理所否定，但他为此而创立的证明论却开辟了一个数理逻辑的新领域。受希尔伯特规划的影响，1930年哥德尔开始考虑数学分析的一致性问题，1931年发表《PM及有关系统中的形式不可判定命题》一文，论证了两个著名的定理：1. 一个包括初等数论的形式系统P，如果是一致的那么就是不完备的（第一不完备性定理）；2. 如果这样的系统是一致的，那么其一致性在本系统中不可证（第二不完备性定理）。
